Prijeđi na sadržaj

Leibnizov kriterij

Izvor: Wikipedija

U matematičkoj analizi, Leibnizov kriterij je metoda koja se koristi da se pokaže da je izmjenični (alternirani) red konvergentan kada njegovi članovi opadaju po apsolutnoj vrijednosti i kada je niz tih članova konvergentan s limesom u nuli. Ovaj test je koristio njemački matematičar i filozof Gottfried Leibniz te je po njemu i nazvano ovo pravilo.

Ovaj test je samo dovoljan, no ne i nužan uvjet, tako da neki konvergentni alternirani nizovi mogu pasti na prvom dijelu testa.

Iskaz teorema

[uredi | uredi kôd]

Ako je , opadajući nula-niz (niz s limesom u nuli), tada je alternirani red konvergentan i za njegovu sumu i njegov -ti ostatak vrijedi te je [1]

Ako je pak , dokaz se provodi posve analogno.

Dokaz

[uredi | uredi kôd]

Iz relacija i , vidimo da niz monotono raste, a da niz monotono pada. Također, iz vidimo da je niz ograničen odozgo sa , a da je niz ograničen odozdo sa pa su oba ova niza konvergentna. Dakako, postoje i u . Zato imamo da vrijedi

i zaključujemo da je pa niz konvergira k , što znači da je .

Sada iz slijedi , tj. . (*)

Preostaje još ocijeniti -ti ostatak . Iz koristeći (*) zaključujemo da je , što je i trebalo pokazati.

Izvori

[uredi | uredi kôd]
  1. Weisstein, Eric W. Leibniz Criterion. mathworld.wolfram.com (engleski). Pristupljeno 13. srpnja 2022.