U matematičkoj analizi, Leibnizov kriterij je metoda koja se koristi da se pokaže da je izmjenični (alternirani) red konvergentan kada njegovi članovi opadaju po apsolutnoj vrijednosti i kada je niz tih članova konvergentan s limesom u nuli. Ovaj test je koristio njemački matematičar i filozof Gottfried Leibniz te je po njemu i nazvano ovo pravilo.
Ovaj test je samo dovoljan, no ne i nužan uvjet, tako da neki konvergentni alternirani nizovi mogu pasti na prvom dijelu testa.
Ako je
,
opadajući nula-niz (niz s limesom u nuli), tada je alternirani red
konvergentan i za njegovu sumu
i njegov
-ti ostatak
vrijedi
te je
[1]
Ako je pak
, dokaz se provodi posve analogno.
Iz relacija
i
, vidimo da niz
monotono raste, a da niz
monotono pada. Također, iz
vidimo da je niz
ograničen odozgo sa
, a da je niz
ograničen odozdo sa
pa su oba ova niza konvergentna. Dakako, postoje
i
u
. Zato imamo da vrijedi
i zaključujemo da je
pa niz
konvergira k
, što znači da je
.
Sada iz
slijedi
, tj.
. (*)
Preostaje još ocijeniti
-ti ostatak
. Iz
koristeći (*) zaključujemo da je
, što je i trebalo pokazati.
- ↑ Weisstein, Eric W. Leibniz Criterion. mathworld.wolfram.com (engleski). Pristupljeno 13. srpnja 2022.